Корни квадратного уравнения x2 + px + q = 0 являются целыми числами. Найти p и q, если p+q=112.

   1. Выразим q через p и подставим в выражение дискриминанта:

• p + q = 112;
• q = 112 - p;

• x^2 + px + q = 0;
• D = p^2 - 4q = p^2 - 4 * (112 - p) = p^2 + 4p - 448 = (p + 2)^2 - 452.

   2. Дискриминант должен быть квадратом целого числа:

• D = d^2;
• (p + 2)^2 - 452 = d^2;
• (p + 2)^2 - d^2 = 452;
• (p + 2 + d)(p + 2 - d) = 4 * 113.

   3. Т. к. d ≥ 0, то p + 2 + d ≥ p + 2 - d. Пусть:

• {p + 2 + d = k1;{p + 2 - d = k2;
• {p = (k1 + k2)/2 - 2;{d = (k1 - k2)/2;{q = 112 - p.

   k1 и k2 имеют одинаковую четность.

   4. При условии k1 ≥ k2 возможны следующие решения:

   1) k1 = -2; k2 = -226;

• {p = -116;{d = 112;{q = 228.

   2) k1 = 226; k2 = 2;

• {p = 112;{d = 112;{q = 0.

   Ответ:

• 1) p = -116; q = 228;
• 2) p = 112; q = 0.