Y=(x^2-2x-3)^2 когда возрастает?

Чтобы найти промежутки возрастания (убывания) функции, нужно найти нули производной и определить знаки на каждом промежутке.

1) Найдем производную функции:

f(x) = (x^2 - 2x - 3)^2.

f`(x) = 2(x^2 - 2x - 3)^(2 - 1) * (x^2 - 2x - 3)` =  2(x^2 - 2x - 3)(2х - 2).

2) Найдем нули производной:

2(x^2 - 2x - 3)(2х - 2) = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

x^2 - 2x - 3 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 2; х₁ * х₂ = -3.

Корни равны (-1) и 3.

2х - 2 = 0; 2х = 2; х = 1.

Получилось три корня: -1, 1 и 3.

3) Определим знаки получившихся промежутков:

(-∞; -1) например, х = -2: 2((-2)^2 - 2 * (-2) - 3)(2 * (-2) - 2) = 2 * 5 * (-6) = -60.

Производная отрицательна, функция убывает.

(-1; 1) например, х = 0: 2(0^2 - 2 * 0 - 3)(2 * 0 - 2) = 2 * (-3) * (-2) = 12.

Производная положительна, функция возрастает.

(1; 3) например, х = 2: 2(2^2 - 2 * 2 - 3)(2 * 2 - 2) = 2 * (-3) * 2 = -12.

Производная отрицательна, функция убывает.

(3; + ∞) например, х = 4: 2(4^2 - 2 * 4 - 3)(2 * 4 - 2) = 2 * 5 * 6 = 60.

Производная положительна, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках (-1; 1) и (3; + ∞).