Решите неравенство: (х^2-13х+30)/(х^2+7х+10)<0

(х^2 - 13х + 30)/(х^2 + 7х + 10) < 0. Дробь тогда меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Получается две системы:

(1) х^2 - 13х + 30 > 0; х^2 + 7х + 10 < 0.

(2) х^2 - 13х + 30 < 0; х^2 + 7х + 10 > 0.

1) Решим неравенства по отдельности:

х^2 - 13х + 30 > 0. Рассмотрим функцию у = х^2 - 13х + 30, это квадратичная парабола, ветви вверх. Найдем нули функции:

х^2 - 13х + 30 = 0.

D = (-13)^2 - 4 * 1 * 30 = 169 - 120 = 49 (√D = 7);

х1 = (13 + 7)/2 = 10; х2 = (13 - 7)/2 = 3.

Отмечаем на прямой точки 3 и 10, рисуем параболу через эти точки. Неравенство имеет знак > 0, значит, решение неравенства (-∞; 3) и (10; +∞).

х^2 + 7х + 10 < 0. 

Рассмотрим функцию у = х^2 + 7х + 10, это квадратичная парабола, ветви вверх. Найдем нули функции:

х^2 + 7х + 10 = 0.

D = 7^2 - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9 (√D = 3);

х1 = (-7 + 3)/2 = -2; х2 = (-7 - 3)/2 = -5.

Отмечаем на прямой точки -5 и -2, рисуем параболу через эти точки. Неравенство имеет знак < 0, значит, решение неравенства (-5; -2).

Переносим оба решения (-5; -2), (-∞; 3) и (10; +∞) на одну прямую, решение системы (-5; -2).

2) х^2 - 13х + 30 < 0. Нули функции равны 3 и 10 (см. выше). Решение неравенства (3; 7).

х^2 + 7х + 10 > 0. Нули функции равны -5 и -2, решение неравенства (-∞; -5) и (-2; +∞).

Объединяем оба решения на одной прямой, штрихуем нужные участки и смотрим, где штриховка совпала. Решение системы (3; 7).

Ответ: (-5; -2) и (3; 7).