Доказать, что 3^17+27^5 делится на 10

  Решим задачу с помощью сравнений   1. Возведем в квадрат обе части сравнения:

• 3^1 ≡ 3 (mod 10);
• 3^2 ≡ 9 (mod 10);
• 3^2 ≡ -1 (mod 10).

   2. Возведем в восьмую степень:

• 3^16 ≡ (-1)^8 (mod 10);
• 3^16 ≡ 1 (mod 10).

   3. Умножим на 3:

• 3^17 ≡ 3 (mod 10). (1)

   4. Дважды возведем в квадрат:

• 27 ≡ 30 - 3 (mod 10);
• 27 ≡ -3 (mod 10);
• 27^2 ≡ (-3)^2 (mod 10);
• 27^2 ≡ 9 (mod 10);
• 27^2 ≡ - 1 (mod 10);
• 27^4 ≡ 1 (mod 10).

   5. Умножим на 27:

• 27^5 ≡ 27 ≡ -3 (mod 10);
• 27^5 ≡ -3 (mod 10). (2)

   6. Прибавим друг к другу обе части сравнений (1) и (2):

• 3^17 + 27^5 ≡ 3 - 3 (mod 10);
• 3^17 + 27^5 ≡ 0 (mod 10). (3)

   Из сравнения (3) следует, что число 3^17 + 27^5 делится на 10, что и требовалось доказать.