Решите неравенство (x-4)/(x+3)< (2x-1)/x

(x - 4)/(x + 3) < (2x - 1)/x.

Перенесем дробь справа в левую часть неравенства:

(x - 4)/(x + 3) - (2x - 1)/x < 0.

Приведем к общему знаменателю:

(х(х - 4) - (2х - 1)(х + 3))/х(х + 3) < 0;

(х^2 - 4х - (2х^2 - х + 6х - 3))/х(х + 3) < 0;

(х^2 - 4х - 2х^2 + х - 6х + 3)/х(х + 3) < 0;

(-х^2 - 9х + 3)/х(х + 3) < 0.

Вынесем минус за скобку и умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

-(х^2 + 9х - 3)/х(х + 3) < 0;

(х^2 + 9х - 3)/х(х + 3) > 0.

Решим неравенство методом интервалов:

найдем корни неравенства:

х(х + 3) = 0; х = 0 и х = -3.

х^2 + 9х - 3 = 0; D = 81 + 12 = 93; х₁ = (-9 - √93)/2 (~ -9); х₂ = (-9 + √93)/2 (~ 0,1).

Отмечаем на числовой прямой точки  (-9 - √93)/2, -3, 0 и (-9 + √93)/2, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.(+) (-9 - √93)/2 (-) -3 (+) 0 (-) (-9 + √93)/2 (+).

Так как знак неравенства > 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).Решением неравенства будут промежутки (-∞; (-9 - √93)/2), (-3; 0) и ((-9 + √93)/2 ; +∞).