1) (x-4)^2(x+6)^2 5) x^2>16; 9

1) (x - 4)^2 ≤ (2х - 6)^2.

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности.

х^2 - 8х + 16 ≤ 4х^2 - 24х + 36.

Перенесем все в левую часть:

х^2 - 8х + 16 - 4х^2 + 24х - 36 ≤ 0.

Подведем подобные члены:

-3х^2 + 16х - 20 ≤ 0.

Умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

3х^2 - 16х + 20 ≥ 0.

Рассмотрим функцию у = 3х^2 - 16х + 20, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 3х^2 - 16х + 20 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 3; b = -16; c = 20;

D = b^2 - 4ac; D = (-16)^2 - 4 * 3 * 20 = 256 - 240 = 16 (√D = 4);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (16 - 4)/(2 * 3) = 12/6 = 2.

х₂ = (16 + 4)/6 = 20/6 = 3 2/6 = 3 1/3.

Отмечаем на числовой прямой точки 2 и 3 1/3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≥ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; 2] и [3 1/3; +∞).

Далее работаем по образцу.

2) (7 - x)^2 ≤ (3 - x)^2.

49 - 14х + x^2 ≤ 9 - 6х + x^2;

-14х + x^2 + 6х - x^2 ≤ 9 - 49;

-8х ≤ -40;

8х ≥ 40;

х ≥ 40/5;

х ≥ 5.

Решением неравенства будет промежуток [5; +∞).

3) (2x + 1)^2 ≤ (x + 4)^2.

4х^2 + 4x + 1 ≤ x^2 + 8x + 16;

4х^2 + 4x + 1 - x^2 - 8x - 16 ≤ 0;

3х^2 - 4x - 15 ≤ 0;

Рассмотрим функцию у = 3х^2 - 4x - 15, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 3х^2 - 4x - 15 = 0.

D = 16 + 180 = 196 (√D = 14);

х₁ = (4 - 14)/(2 * 3) = -10/6 = -1 4/6 = -1 2/3.

х₂ = (4 + 14)/6 = 18/6 = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки -1 2/3 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [-1 2/3; 3].

 4) -4x^2 + 5x + 60 > (x + 6)^2.

-4x^2 + 5x + 60 > x^2 + 12х + 36;

-4x^2 + 5x + 60 - x^2 - 12х - 36 > 0;

-5x^2 - 7х + 24 > 0;

5x^2 + 7х - 24 < 0.

Рассмотрим функцию у = 5x^2 + 7х - 24, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 5x^2 + 7х - 24 = 0.

D = 49 + 480 = 529 (√D = 23);

х₁ = (-7 - 23)/(2 * 5) = -30/10 = -3.

х₂ = (-7 + 23)/10 = 16/10 = 1,6.

Отмечаем на числовой прямой точки -3 и 1,6, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-3; 1,6).

5) x^2 > 16 (а); 9 ≤ x^2 (б).

Решим неравенства сначала по отдельности:

а) x^2 > 16; x^2 - 16 > 0. Квадратичная парабола, ветви вверх.

x^2 - 16 = 0; (х - 4)(х + 4) = 0; х = -4 и х = 4.

Отмечаем на числовой прямой точки -4 и 4, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; -4) и (4; +∞).

б) 9 ≤ x^2; 9 - x^2 ≤ 0. Квадратичная парабола, ветви вниз.

9 - x^2 = 0; (3 - х)(3 + х) = 0; х = -3 и х = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки -3 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вниз). Неравенство имеет знак ≤ 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится ниже прямой, то есть (-∞; -3] и [3; +∞).

Объединяем решения обоих неравенств на одной прямой. Решение системы: (-∞; -4) и (4; +∞).

6) (x + 1)^2 + (x + 3)^2 ≤ 2x.

x^2 + 2х + 1 + x^2 + 6х + 9 - 2х ≤ 0;

2x^2 + 6х + 10 ≤ 0;

делим уравнение на 2:

x^2 + 3х + 5 ≤ 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 + 3х + 5, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 + 3х + 5 = 0.

D = 9 - 20 = -11 (корней нет). Нет точек пересечения с осью х, вся парабола находится над осью х (так как ветви вверх). Так как знак неравенства ≤, то решения неравенства нет.

7) -25 < -9x^2.

9x^2 - 25 < 0.

Рассмотрим функцию у = 9x^2 - 25, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 9x^2 - 25 = 0.

(3х - 5)(3х + 5) = 0; 3х - 5 = 0 или 3х + 5 = 0, х = -5/3 и х = 5/3.

Отмечаем на числовой прямой точки -5/3 и 5/3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-5/3; 5/3).