Разложите на множители: 1) x^3+6x^2+11x+6 2) a^5+ a^4+a^3+a^2+a+1

Решение:

1). Представляем 11x  в виде суммы, группируем слагаемые и выносим общие множители за скобку:

x³ + 6x² + 11x + 6 = (x³ + 6x² + 9x) + 2х + 6 = х(x² + 6x + 9) + 2(х + 3).

Упростим выражение в первой скобке по формуле квадрат суммы (а + b)² = (а² + 2ab + b²) и вынесем (х + 3) за скобку:

х(x + 3)² + 2(х + 3) = (х + 3)(х(x + 3) + 2) = (х + 3)(х² + 3х + 2).

Представляем 3х и 2 в виде суммы и упрощаем по аналогии:

(х + 3)(х² + 2х + х + 1 + 1) = (х + 3)((х² + 2х + 1)+ (х + 1)) = (х + 3)((х + 1)²+ (х + 1)) = (х + 3)(х + 1)(х + 1+ 1) = (х + 3)(х + 1)(х + 2).

2). Группируем, выносим общий множитель за скобку:

a⁵ +  a⁴ + a³ + a² + a + 1 = (a⁵ +  a⁴ + a³) + (a² + a + 1) = a³(a² + a + 1) + (a² + a + 1) = (a² + a + 1)( a³ + 1) = (a² + a + 1)( a + 1)(a² - a + 1).

Уравнения a² + a + 1= 0 и a² - a + 1 = 0 корней не имеют, т.к. D < 0, поэтому дальнейшее разложение на множители невозможно.

Ответ: x³ + 6x² + 11x + 6 = (х + 1)(х + 2)(х + 3); a⁵ +  a⁴ + a³ + a² + a + 1 = ( a + 1)(a² + a + 1)(a² - a + 1).