1)) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь равна 30 см². Найдите наименьший катет этого треугольника.

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника через х см и у см. Площадь прямоугольного треугольника - половина произведения катетов, отсюда :

х * у = 60.

По теореме Пифагора x^2 + y^2 = 13^2.

Получим систему:

{х * у = 60,

{x^2 + y^2 = 169.

Умножим первое уравнение на 2 и прибавим ко второму:

x^2 +2ху +  y^2 = 289,

(х + у) ^2 = 289.

Учитывая, что х и у - положительные числа получим:

х + у = 17,

х * у = 60.

Следуя рассуждениям, аналогичным теореме Виетта, получим катеты 5 см и 12 см.

Ответ. Меньший катет 5 см.

2. Площадь любого описанного многоугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

 Для четырехугольников справедливо такое свойство: суммы противоположных сторон равны.

Значит и сумма боковых сторон и сумма оснований трапеции - 17 см.

r = S / p.

r = 51 / 17 = 3 (см).