Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений {х^2+2x+y^2+4y=4|2x-y| {x+2y=a

   1. Раскроем знак модуля:

• х^2 + 2x + y^2 + 4y = 4|2x - y|;
• х^2 + 2x + y^2 + 4y - 4|y - 2x| = 0;

   a)

• y < 2x;
• х^2 + 2x + y^2 + 4y + 4y - 8x = 0;
• х^2 - 6x + y^2 + 8y = 0;
• (х - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25. (1)

   b)

• y ≥ 2x;
• х^2 + 2x + y^2 + 4y - 4y + 8x = 0;
• х^2 + 10x + y^2 = 0;
• (х + 5)^2 + y^2 = 25. (2)

   Графиком уравнения являются большие дуги окружностей (1) и (2): (http://bit.ly/2MIJdOr).

   2. Прямую x + 2y = a выразим явно:

      y = -x/2 + a/2.

   1) При a = -5 прямая проходит через центр окружностей;

   2) При a = 0 и a = -10 - через точки пересечения окружностей;

   3) При a = -5 ± 5√5 - касается окружностей.

   Как видно из рисунка, более двух решений получим на промежутках:

      a ∈ (-5 - 5√5; -10] ∪ [0; -5 + 5√5).

   Ответ: (-5 - 5√5; -10] ∪ [0; -5 + 5√5).