Решить неравенство |(2x/x-3)+1| < 2

Правило раскрытия модуля: если |х| < a, то x < a и x > -a.

|2x/(x - 3) + 1| < 2.

Получается система неравенств: 2x/(x - 3) + 1 < 2; 2x/(x - 3) + 1 > -2.

Решаем каждое неравенство сначала отдельно:

1) 2x/(x - 3) + 1 < 2;

2x/(x - 3) + 1 - 2 < 0;

2x/(x - 3) - 1 < 0;

приведем к общему знаменателю:

2x/(x - 3) - (х - 3)/(х - 3) < 0;

(2x - х + 3)/(х - 3) < 0;

(х + 3)/(х - 3) < 0.

Решим неравенство методом интервалов.

х + 3 = 0; х = -3.

х - 3 = 0; х = 3.

Корни неравенства равны -3 и 3.

Отмечаем на числовой прямой точки -3 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) -3 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства < 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будет промежуток (-3; 3).

2) 2x/(x - 3) + 1 > -2;

2x/(x - 3) + 1 + 2 > 0;

2x/(x - 3) + 3 > 0;

2x/(x - 3) + 3(х - 3)/(х - 3) > 0;

(2x + 3х - 9)/(х - 3) > 0;

(5х - 9)/(х - 3) > 0;

5х - 9 = 0; х = 9/5 = 1,8.

х - 3 = 0; х = 3.

Корни неравенства равны 1,8 и 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 1,8 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) 1,8 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства > 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; 1,8) и (3; +∞).

3) Отмечаем на одной прямой оба решения неравенств: (-3; 3), (-∞; 1,8) и (3; +∞), штрихуем нужные участки прямой. Там, где штриховка совпала, и будет решение системы неравенств: 

(-3; 1,8).