Найти промежутки монотонности y=x^3-3x^2-45x+2

Найдем промежутки возрастания и убывания функции у = х^3 - 3х^2 - 45х + 2 с помощью производной.

1) Найдем производную функции.

у\' = (х^3 - 3х^2 - 45х + 2)\' = 3х^2 - 6х - 45.

2) Найдем нули производной.

3х^2 - 6х - 45 = 0;

х^2 - 2х - 15 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64; √D = 8;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5;

x2 = (2 - 8)/2 = -6/2 = -3.

3) Найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Отметим на числовой прямой числа (-3) и 5. Они разделят прямую на интервалы: 1) (-∞; -3), 2) (-3; 5), 3) (5; +∞). На 1 и 2 промежутках производная принимает положительные значения, а на 2 промежутке - отрицательные.

Если производная принимает положительные значения на промежутке, то на этом промежутке функция возрастает, а если производная на промежутке принимает отрицательные значения, то на этом промежутке функция убывает. Значит на 1 и 3 промежутках функция возрастает, а на 2 промежутке - убывает.

Ответ. Функция возрастает на (-∞; -3) ∪ (5; +∞). Функция убывает на (-3; 5).