Решите неравенство x^3-10x^2+21x больше или равно 0

x^3 - 10x^2 + 21x >= 0.

Вынесем х за скобку: х(х^2 - 10x + 21) >= 0.

Произведение тогда больше нуля, когда оба множителя имеют одинаковые знаки (или оба положительные, или оба отрицательные).

Получается две системы: (А) х <= 0; х^2 - 10x + 21 <= 0 и (В) x >= 0; х^2 - 10x + 21 >= 0.

(А) х <= 0; решение неравенства (-∞; 0].

х^2 - 10x + 21 <= 0.

Рассмотрим функцию у = х^2 - 10x + 21, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х^2 - 10x + 21 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = -10; c = 21;

D = b^2 - 4ac; D = (-10)^2 - 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16 (√D = 4);

x = (-b ± √D)/2a;

х₁ = (10 - 4)/2 = 6/2 = 3;

х₂ = (10 + 4)/2 = 14/2 = 7.

Отмечаем на числовой прямой точки 3 и 7, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак <= 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть [3; 7].

Объединяем решения неравенств (-∞; 0) и [3; 7]. Решения системы нет.

(В) x >= 0, решение [0; +∞).

х^2 - 10x + 21 >= 0. Корни функции равны 3 и 7 (см.выше), так как знак неравенства >= 0, то решение неравенства будет (-∞; 3] и [7; +∞).

Решение системы неравенств: [0; 3] и [7; +∞).