Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком причём катя выпила одну четвёртую всего молока и одну шестую всего кофе

Пускай молока было X чашек и Y чашек кофе. 1 чашка вмещает 1/4 молока и 1/6 кофе. Составим уравнения:

(1/4) *  Х + (1/6) * Y = 1;

(4/4) * Х + (4/6) *Y = 4;

(4/6) * Y = 4 - X;

2/3 * Y = 4 - X.

Составим уравнение для двух чашек:

(1/2) * Х + (1/3) * Y = 2;

(1/2) * X + (4 - X)/2 = 2;

Х = 2. 

Было 2 чашки с молоком, в чашке Кати было пол чашки молока и пол чашки кофе.

1/6 кофе = 0,5 чашки.

Всего было 3 чашки кофе.

3 + 2 = 5 чашек всего, а значит 5 человек в семье.

Ответ: в семье было 5 человек.