Y=tg(3x-3pi/4);y'=pi/3

Найдём производную данной функции: y = tg (3x – (3π / 4)).

Эту функцию можно записать так:

y = tg (3x – (3π / 4)) = (tg (3x) - tg (3π / 4)) / (1 + tg (3x) * tg (3π / 4)) = (tg (3x) - (-1)) / (1 + tg (3x) * (-1)) = (tg (3x) + 1) / (1 – tg (3x)).

Воспользовавшись формулами:

(tg x)’ = 1 / (cos^2 (x)) (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(u / v)’ = (u’v - uv’) / v² (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = ((tg (3x) + (3π / 4))’ = (3x + (3π / 4))’ * ((tg (3x) + (3π / 4))’ = ((3x)’ + (3π / 4)’) * ((tg (3x) + (3π / 4))’ = (3 + 0) * (1 / (cos^2 (3x + (3π / 4))) = 3 / (cos^2 (3x + (3π / 4)).

Вычислим значение производной в точке х0 = (π / 3):

y\' (π / 3) = 3 / (cos^2 (3 * (π / 3) + (3π / 4)) = 3 / (cos^2 (π) + (3π / 4)) =

3 / (cos (π) + (3π / 4))^2 = 3 / (-cos (3π / 4))^2 = 3 / (-(-√2 / 2))^2 =

3 / (2 / 4) = 3 / (1 / 2) = 6.

Ответ: y\' = = 3 / (cos^2 (3x + (3π / 4)), а y\' (π / 3) = 6.