Найдите число членов арифметической прогрессии, разность которой 12, последний член -15 и сумма всех членов -456.

Обозначим данную арифметическую прогрессию через an

Рассмотрим эту же прогрессию, взятую в обратном порядке.

Обозначим обратную арифметическую прогрессию через сn

Тогда последний член прогрессии an, равный -15, будет будет первым членом прогрессии сn, а разность прогрессии cn будет равна разности прогрессии an с обратным знаком, то есть -12.

Поскольку сумма всех членов прогрессий an и сn совпадает и равна -456, запишем формулу суммы  первых n членов для арифметической прогрессии сn:

(2 * (-15) + (-12) * (n - 1)) * n / 2 = -456.

Решаем полученное уравнение:

(-30 - 12n + 12) * n / 2 = -456;

(-18 - 12n) * n / 2 = -456;

(9 + 6n) * n  = 456;

9n + 6n^2 = 465;

6n^2 + 9n - 456 = 0;

n = (-9 ± √(81 + 6 * 4 * 456)) / 12 =  (-9 ± √(81 + 10944)) / 12 = (-9 ± √11025) / 12 = (-9 ± 105) / 12;

n1 = (-9 - 105) / 12 = -114/12 = -9.5;

n2 = (-9 + 105) / 12 = 96/12 = 8.

Поскольку число членов последовательности может быть только целым и положительным, значение n = -9.5 не подходит.

Следовательно, число членов данной арифметической прогрессии равно 8.

Ответ: число членов данной арифметической прогрессии равно 8.