Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2sin2x+cos4x на промежутке [0; pi/3]

   1. Производная функции:

      y(x) = 2sin(2x) + cos(4x);

      y\'(x) = 4cos(2x) - 4sin(4x);

      y\'(x) = 4cos(2x) - 8sin(2x)cos(2x);

      y\'(x) = 4cos(2x)(1 - 2sin(2x)).

   2. Найдем критические точки:

      y\'(x) = 0;

      4cos(2x)(1 - 2sin(2x)) = 0;

      [cos(2x) = 0;      [1 - 2sin(2x) = 0;

      [cos(2x) = 0;      [sin(2x) = 1/2;

      [2x = π/2 + πk, k ∈ Z;      [2x = π/6 + 2πk, 5π/6 + 2πk, k ∈ Z;

      [x = π/4 + πk/2, k ∈ Z;      [x = π/12 + πk, 5π/12 + πk, k ∈ Z.

   Критические точки на промежутке [0; π/3]:

      π/12 и π/4.

   3. Вычислим значения функции на концах промежутка [0; π/3] и в критических точках:

      y(0) = 2sin0 + cos0 = 2 * 0 + 1 = 1;

      y(π/12) = 2sin(π/6) + cos(π/3) = 2 * 1/2 + 1/2 = 3/2;

      y(π/4) = 2sin(π/2) + cos(π) = 2 * 1 - 1 = 1;

      y(π/3) = 2sin(2π/3) + cos(4π/3) = 2 * √3/2 - 1/2 = √3 - 1/2.

   Наименьшему значению функция достигает в точках 0 и π/4:

      y(0) = y(π/4) = 1,

наибольшему значению - в точке π/12:

      y(π/12) = 3/2.

   Ответ: 1 и 3/2.