Исследовать функцию на экстремум двух независимых переменных z=x^3y+y^2x^3+15x

   1. Независимая переменная - x:

      f(x) = x^3y + y^2x^3 + 15x;

      f(x) = y(y + 1)x^3 + 15x;

      f\'(x) = 3y(y + 1)x^2 + 15;

   а) при y ∈ (-∞; -1] ∪ [0; ∞) функция возрастает.

   б) при y ∈ (-1; 0):

      f\'(x) = 0;

      3y(y + 1)x^2 + 15 = 0;

      y(y + 1)x^2 + 5 = 0;

      x^2 = -5 / (y^2 + y);

      x = ±√(-5 / (y^2 + y)) - точки экстремума;

      x1 = -√(-5 / (y^2 + y)) - точка минимума;

      x2 = √(-5 / (y^2 + y)) - точка максимума.

   2. Независимая переменная - y:

      g(y) = x^3y + y^2x^3 + 15x;

      g(y) = x^3y^2 + x^3y + 15x;

      g\'(y) = 2x^3y + x^3;

      g\'(y) = x^3(2y + 1);

   a) при x = 0; g(y) = 0;

   b) при x ≠ 0:

      g\'(y) = 0;

      x^3(2y + 1) = 0;

      y = -1/2 - точка экстремума;

      при x > 0; y = -1/2 - точка минимума;

      при x < 0; y = -1/2 - точка максимума.

   Ответ:

   1) f(x); при y ∈ (-1; 0):

      точка минимума: -√(-5 / (y^2 + y));

      точка максимума: √(-5 / (y^2 + y)).

   2) g(y);

      при x > 0; y = -1/2 - точка минимума;

      при x < 0; y = -1/2 - точка максимума.