Что больше 10^10+1/(10^11+1) или 10^11+1/(10^12+1)

Для начала необходимо понять то, что чем больше числитель при равных знаменателях, тем больше дробь и наоборот, чем меньше знаменатель при равных числителях, тем больше дробь. Для решения этого неравенство не обязательно решать ее по частям. Можно найти правильный ответ просто посмотрев не левую и правую сторону от знака неравенства. 

Сразу понятно, левая часть ( 10^10 + 1 / (10^11 + 1) ) меньше, так как здесь 10 в 10 степени, а в правой стороне 10 в 11 степени. А выражение после знака плюс не может заменить 10, потому что она в обоих случаях меньше 1 (знаменатель ее больше числителя).

Ответ: 10^10 + 1 / (10^11 + 1) < 10^11+1/(10^12+1)