X!+9=y^3 Найти все решения в натуральных числах уравнения

   1. Для натуральных значений x от 1 до 8 вычислим значение выражения f(x) = x! + 9:

• 1) f(1) = 1! + 9 = 1 + 9 = 10;
• 2) f(2) = 2! + 9 = 2 + 9 = 11;
• 3) f(3) = 3! + 9 = 6 + 9 = 15;
• 4) f(4) = 4! + 9 = 24 + 9 = 33;
• 5) f(5) = 5! + 9 = 120 + 9 = 129;
• 6) f(6) = 6! + 9 = 720 + 9 = 729 = 9^3;
• 7) f(7) = 7! + 9 = 5040 + 9 = 5049 = 27 * 187;
• 8) f(8) = 8! + 9 = 40320 + 9 = 40329 = 9 * 4481.

   Как видим, только при x = 6 получим куб натурального числа:

• x = 6, y = 9;
• 6! + 9 = 9^3.

   2. Для значений x ≥ 9, x! содержит больше трех множителей 3, следовательно:

      x! = 27k, k ∈ N;

      f(x) = 27k + 9 = 9(3k + 1) - не может быть кубом натурального числа.

   Ответ. Единственное решение: x = 6, y = 9.