Исследование функции у=4х-х^2

у = 4х - х^2.

1. Найдем область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число;

E(f) = R, у любое число.

2. Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0; 4х - х^2 = 0.

х(4 - х) = 0; х = 0 и х = 4.

График функции пересекает ось х в точках 0 и 4.

3. Определим четность функции.

f(x) = 4х - х^2;

f(- x) = 4 * (-х) - (-х)^2 = -4х - х^2 = -(4х + х^2).

f(x) не равно f(- x), f(x) не равно - f(- x), значит функция не четная, не нечетная.

4. Определим промежутки знакопостоянства.

График пересекает ось х в точках 0 и 4, ветви параболы вниз (х^2 имеет отрицательный коэффициент). 

Отмечаем на числовой прямой точки 0 и 04, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вниз).

у > 0 на промежутках (-∞; 0) и (4; +∞).

у < 0 на промежутке (0; 4).

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = 4х - х^2;

f`(x) = 4 - 2х.

Приравняем производную к нулю.

f`(x) = 0; 4 - 2х = 0.

-2х = -4; 2х = 4; х = 2.

(-∞; 2) пусть х = 0:  f`(x) = 4 - 2 * 0 = 4 + 0 = 4. Производная положительна, значит функция возрастает.

(19; +∞) пусть х = 3; f`(x) = 4 - 2 * 3 = = 4 - 6 = -2. Производная отрицательна, значит функция убывает.

Точка х = 2 является точкой максимума функции.