Найдите производную функции f(x)=7x под корнем x, если x=4

Найдём производную функции: f(x) = 7x * √x.

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n* x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(√x)’ = 1 / 2√x (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования)

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (7x)’ = 7 * х^(1-1) = 7 * х^0 = 7 * 1 = 7;

2) (√x)’ = 1 / 2√x.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f(x)’ = (7x * √x)’ = (7x)’ * √x + 7x * (√x)’ = 7 * √x + 7x * (1 / 2√x) = 7√x + 7x / 2√x = ((7√x) * (2√x) + 7x) / 2√x = (14x + 7x) / 2√x = 21x / 2√x = (21√x) / 2.

Вычислим значение производной в точке х0 = 4:

f(4)’ = (21 * √4) / 2 = (21 * 2 ) / 2 = 21.

Ответ: f(x)\' = (21√x) / 2, а f\' (4) = 21.