При каком значении параметра a корни x1 и x2 уравнения 2x^2 -x + a =0 положительны и сумма их корней принимает наибольшее

   1. По теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а их произведение - свободному члену.

   2. Разделим обе части данного уравнения на 2 для получения приведенного квадратного уравнения:

• 2x^2 - x + a = 0;
• x^2 - 1/2 * x + a/2 = 0;

• x1 + x2 = 1/2; (1)
• x1 * x2 = a/2. (2)

   3. Из уравнения (1) следует, что сумма корней имеет постоянное значение, значит, максимальное значение равно 1/2. А поскольку эта сумма - положительное число, то для того, чтобы корни были положительными, необходимо и достаточно, чтобы их произведение также было положительным числом:

• a/2 > 0;
• a > 0;
• a ∈ (0; ∞).

   Ответ:

• 1) наибольшее значение: 1/2;
• 2) a ∈ (0; ∞).