log0,5(6|x| -3)≤log0,5(4-x^2)

log_0,5(6|x| - 3) ≤ log_0,5(4 - x^2).

1) Рассмотрим ОДЗ (область допустимых значений):

0,5 не равно 1 (верно).

6|x| - 3 > 0;

6|x| > 3;

|x| > 1/2;

x > 1/2 и x < -1/2.

4 - x^2 > 0;

x^2 - 4 < 0;

x^2 - 4 - это квадратичная парабола, ветви вверх;

(x - 2)(x + 2) = 0, точки пересечения с осью х равны 2 и -2;

знак неравенства < 0, значит х принадлежит промежутку (-2; 2).

2) log_0,5(6|x| - 3) ≤ log_0,5(4 - x^2). Так как основание логарифма < 1, то знак неравенства перевернется:

6|x| - 3 >= 4 - x^2;

x^2 + 6|x| - 7 >= 0.

Рассмотрим два случая: х > 0 и x < 0.

3) х > 0, раскрываем модуль со знаком (+):

x^2 + 6x - 7 >= 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = -6; х₁ * х₂ = -7.

Корни равны (-7) и 1. 

Отмечаем на числовой прямой точки -7 и 1, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак >= 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; -7] и [1; +∞).

Промежуток (-∞; -7] не подходит (так как х > 0). Решение неравенства [1; +∞).

4) x < 0, раскрываем модуль со знаком (-):

x^2 - 6x - 7 >= 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 6; х₁ * х₂ = -7.

Корни равны (-1) и 7. 

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 7, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак >= 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; -1] и [7; +∞).

Промежуток [7; +∞) не подходит (так как х < 0). Решение неравенства (-∞; -1].

5) Объединяем решение неравенств и ОДЗ.

[1; +∞) и  (-∞; -1].

ОДЗ: x > 1/2 и x < -1/2; (-2; 2).

Решение всего неравенства: (-2; -1] U [1; 2).