Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке y = x "2" + 16/x - 16 (1.4)

у(x) = x^2 + 16/х - 16, на промежутке [1; 4].

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции.

у’(x) = (x^2 + 16/х - 16)’ = 2х – 16/(х^2).

Точки экстремума

y’ = 0:

2х – 16/(х^2) = 0,

(2x^3 – 16) /(х^2) = 0,

2x^3 – 16 = 0,

x^3 = 8,

x = 2.

y’ не существует: х = 0.

Получим: х = 0 и x = 2 – точки экстремума функции.

При х < 0, у’ < 0, функция убывает.

При 0 < х < 2, у’ < 0, функция убывает.

При х > 2, у’ > 0, функция возрастает.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка.

Точки х = 0 не принадлежит промежутку [1; 4].

При х = 1, у (x) = 1^2 + 16/1 – 16 = 1 + 16 – 16 = 1.

При х = 2, у (x) = 2^2 + 16/2 – 16 = 4 + 8 – 16 = -4.

При х = 4, у (x) = 4^2 + 16/4 – 16 = 16 + 4 – 16 = 4.

Таким образом, унаим = у (2) = -4, унаиб = у (4) = 4.

Ответ: унаим = -4, унаиб = 4.