Найдите наименьшее целое решение неравенства х⁴-5х²+4≤0

Решим неравенство x^4 - 5x^2 + 4 ≤ 0 методом интервалов, а затем выберем наименьшее целое решение.

1) Найдем нули функции.

x^4 - 5x^2 + 4 = 0;

введем новую переменную x^2 = y;

y^2 - 5y + 4 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = (-5)^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9; √D = 3;

x = (-b ± √D)/(2a);

y1 = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4;

y2 = (5 - 3)/2 = 2/2 = 1.

Выполним обратную подстановку:

x^2 = y1;

x^2 = 4; x1 = 2; x2 = -2;

x^2 = y2;

x^2 = 1; x3 = 1; x4 = -2.

2) Найдем промежутки знакопостоянства.

Отметим числа (-2), (-1), 1, 2 на числовой прямой. Они разделят прямую на интервалы: 1) (-∞; -2], 2) [-2; -1], 3) [-1; 1], 4) [1; 2], 5) [2; +∞). Выражение x^4 - 5x^2 + 4 принимает положительные значения на 1, 3 и 5 промежутках, а на 2 и 4 промежутках - отрицательные. 

3) Отберем решения неравенства.

Т.к. наше выражение должно быть ≤ 0, то решениями будут все числа, принадлежащие 2 и 4  промежуткам. В промежутках [-2; -1] и [1; 2] наименьшим целым числом будет число (-2).

Ответ. -2.