Найти значения производной в указанной точке y=(x+2)sin x, x0=0

Найдём производную данной функции: y = (x + 2) * sin x.

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

(uv)’ = u’v + uv’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = ((x + 2) * sin x)’ = (x + 2)’ * (sin x) + (x + 2) * (sin x)’ = ((x)’ + (2)’) * (sin x) + (x + 2) * (sin x)’ = (1 + 0) * (sin x) + (x + 2) * (cos x) = (sin x) + (x + 2) * (cos x).

Вычислим значение производной в точке х0 = 0:

y\' (0) = (sin 0) + (0 + 2) * (cos 0) = 0 + 2 * 1 = 2.

Ответ: y\' = (sin x) + (x + 2) * (cos x), a y\' (0) = 2.