Найдите площадь прямоугольника, стороны которого относятся ка 3:4, а перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника

Пусть АВСД - данный прямоугольник. ВН - перпендикуляр к диагонали АС, ВН = 12 см. АВ : ВС = 3 : 4, пусть АВ = 3х, ВС = 4х.

Треугольник АВС - прямоугольный, по теореме Пифагора: АС² = АВ² + ВС² = (3х)² + (4х)² = 9х² + 16х² = 25х². Значит, АС = 5х.

Треугольник АВС равен треугольнику АСД, значит, их площади равны. То есть площадь прямоугольника АВСД в два раза больше площади треугольника АВС.

S(АВС) = 1/2 * ВН * АС = 1/2 * 12 * 5х = 30х.

Значит, S(АВСД) = 30х * 2 = 60х.

Также площадь прямоугольника АВСД можно выразить как произведение длины на ширину:

S(АВСД) = АВ * ВС = 3х * 4х = 12х².

Получается, что 12х² = 60х;

12х² - 60х = 0;

12х(х - 5) = 0;

х = 0 (не может быть),

х = 5.

Значит, АВ = 3х = 3 * 5 = 15 см.

ВС = 4х = 4 * 5 = 20 см.

Следовательно, S(АВСД) = 15 * 20 = 300 см².

Ответ: площадь прямоугольника АВСД равна 300 см².