Lg(2x^2+4x+10)>lg(x^2-4x+3)

Lg(2x^2 + 4x + 10) > lg(x^2 - 4x + 3).

Определим ОДЗ (область допустимых значений):

Значение под знаком десятичного логарифма должно быть больше нуля.

(1) 2x^2 + 4x + 10 > 0 и (2) x^2 - 4x + 3 > 0.

1) 2x^2 + 4x + 10 > 0.

Рассмотрим функцию у = 2x^2 + 4x + 10, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции (точки пересечения с осью х): у = 0; 2x^2 + 4x + 10 = 0.

Поделим уравнение на 2: x^2 + 2x + 5 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 2; c = 5;

D = b^2 - 4ac; D = 2^2 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16.

Дискриминант отрицательный, нет точек пересечения с осью х. Вся парабола находится над осью х (так как ветви вверх). Так как знак неравенства > 0, то решение неравенства (-∞; +∞).

2) x^2 - 4x + 3 > 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 4x + 3, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 4x + 3 = 0.

Найдем корни квадратного трехчлена по теореме Виета: х₁ + х₂ = 4; х₁ * х₂ = 3.

Методом подбора: корни равны 3 и 1.

Отмечаем на числовой прямой точки 1 и 3, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; 1) и (3; +∞).

3) Возвращаемся к основному неравенству, основание логарифма (10) больше единицы, поэтому:

2x^2 + 4x + 10 > x^2 - 4x + 3.

Переносим все в левую часть:

2x^2 + 4x + 10 - x^2 + 4x - 3 > 0;

x^2 + 8x + 7 > 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 + 8x + 7, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 + 8x + 7 = 0.

Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: х₁ + х₂ = -8; х₁ * х₂ = 7.

Корни равны -1 и -7.

Отмечаем на числовой прямой точки -7 и -1, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; -7) и (-1; +∞).

4) Получилось, что х принадлежит промежуткам (-∞; -7) и (-1; +∞), а по ОДЗ х принадлежит промежуткам (-∞; 1) и (3; +∞).

Отмечаем на прямой решение неравенства и ОДЗ, штрихуем нужные участки. Там, где штриховка совпала, и есть решение неравенства: (-∞; -7), (-1; 1) и (3; +∞).