Найдите наименьшее значение функции у=√х^2+12х+ 40 (всё под корнем)

1. Найдем первую производную функции у = √(х^2 + 12х + 40):

у\' = (2х + 12)/(2 * (√(х^2 + 12х + 40)) = (2 * (х + 6))/(2 * (√(х^2 + 12х + 40)) = (х + 6)/(√(х^2 + 12х + 40)).

2. Приравняем эту производную к нулю:

(х + 6)/(√(х^2 + 12х + 40)) = 0;

х + 6 = 0;

√(х^2 + 12х + 40) ≠ 0;

х = -6;

х^2 + 12х + 40 ≠ 0;

D = b^2 - 4ac = 144 - 4 * 40 = 144 - 160 = -16.

D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

3. Найдем значение функции:

у(-6) = √(36 - 72 + 40) = √4 = 2.

4. Найдём вторую производную:

у\" = ((-х - 6) * (х + 6))/((х^2 + 12х + 40)^3/2) + 1/(√(х^2 + 12х + 40) = 4/((х^2 + 12х + 40)^3/2).

5. Вычислим значение производной:

у\"(-6) = 4/(36 - 72 + 40)^3/2 = 4/(4^3/2) = 4/(4 * √4) = 1/2 > 0, тогда это точка минимума.

Ответ: fmin = 2.