решите уравнение модуль (х^2+5*х-24) +модуль (х^2-9*х+8) =14*х-32

|х^2 + 5х - 24| + |х^2 - 9х + 8| = 14х - 32.

1) Определим значения х, в которых модуль меняет знак.

I модуль. х^2 + 5х - 24 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = -5; х₁ * х₂ = -24.

х₁ = -8; х₂ = 3.

Так как это квадратичная парабола (ветви вверх), она пересекает ось х в точках -8 и 3, значит:

(-∞; -8) знак (+); (-8; 3) знак (-); (3; +∞) знак (+).

II модуль. х^2 - 9х + 8 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 9; х₁ * х₂ = 8.

х₁ = 1; х₂ = 8.

Так как это квадратичная парабола (ветви вверх), она пересекает ось х в точках 1 и 8, значит:

(-∞; 1) знак (+); (1; 8) знак (-); (8; +∞) знак (+).

Удобнее перенести знаки модулей на одну прямую. Раскрываем модули в соответствии со знаком каждого интервала.

2) (-∞; -8) раскрываем оба модуля со знаком (+).

х^2 + 5х - 24 + х^2 - 9х + 8 = 14х - 32;

2х^2 - 4х - 16 = 14х - 32;

2х^2 - 4х - 16 - 14х + 32 = 0;

2х^2 - 18х + 16 = 0.

Поделим уравнение на 2:

х^2 - 9х + 8 = 0.

По теореме Виета: х₁ + х₂ = 9; х₁ * х₂ = 8.

х₁ = 1; х₂ = 8 (сторонние корни, не входят в промежуток).

3) (-8; 1) I модуль раскрываем со знаком (-), а второй - с (+).

-х^2 - 5х + 24 + х^2 - 9х + 8 = 14х - 32;

 -14х + 26 = 14х - 32;

-14х - 14х = -26 - 32;

-28х = -58;

х = 58/12 = 29/6 = 4 5/6 (сторонний корень, не входит в промежуток).

4) (1; 3) оба модуля раскрываем со знаком (-).

-х^2 - 5х + 24 - х^2 + 9х - 8 = 14х - 32;

-2х^2 + 4х + 16 = 14х - 32;

-2х^2 + 4х + 16 - 14х + 32 = 0;

-2х^2 - 10х + 48 = 0.

Делим уравнение на (-2):

х^2 + 5х - 24 = 0.

По теореме Виета: х₁ + х₂ = -5; х₁ * х₂ = -24.

х₁ = -8; х₂ = 3 (сторонние корни, не входят в промежуток).

5) (3; 8) I модуль раскрываем со знаком (+), а второй - с (-).

х^2 + 5х - 24 - х^2 + 9х - 8 = 14х - 32;

14х - 32 = 14х - 32;

14х - 14х = 32 - 32;

0 = 0, х - любое число на промежутке (3; 8).

6) (8; +∞) оба модуля раскрываем со знаком (+) (см. пункт 2).

х₁ = 1; х₂ = 8 (сторонние корни, не входят в промежуток).

Ответ: х принадлежит промежутку (3; 8).