Решите уравнение: Sinx+Sin3x-Sin5x-Sin7x=0

Поменяем местами некоторые слагаемые:

sinx + sin3x - sin5x - sin7x = 0.

(sinx - sin7x) + (sin3x - sin5x) = 0.

Преобразуем выражения по формуле разности синусов.

2cos((х + 7х)/2)sin((x - 7x)/2) + 2cos((3x + 5x)/2)sin((3x - 5x)/2) = 0.

2cos(4x)sin(-3x) + 2cos(4x)sin(-x) = 0.

-2cos(4x)sin(3x) - 2cos(4x)sin(x) = 0.

Вынесем -2cos(4x) за скобку:

-2cos(4x)(sin(3x) + sinx) = 0.

-2cos(4x) * 2sin((3x + x)/2) * cos((3x - x)/2) = 0.

-4cos(4x) * sin(2x) * cosx = 0.

Произведение тогда равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1) -4cos(4x) = 0;

cos(4x) = 0;

4х = П/2 + Пn;

х = П/8 + П/4 * n, n - целое число.

2) sin(2x) = 0.

2х = Пn;

х = П/2 * n, n - целое число.

3) cosx = 0;

х = П/2 + Пn.