Решите неравенство: 2x+3/x2+x-12 <1/2

(2x + 3)/(x^2 + x - 12) < 1/2.

Перенесем 1/2 в левую часть: (2x + 3)/(x^2 + x - 12) - 1/2 < 0.

Приведем к общему знаменателю:

(2(2x + 3) - (x^2 + x - 12))/2(x^2 + x - 12) < 0;

(4x + 6 - x^2 - x + 12)/2(x^2 + x - 12) < 0;

(-x^2 + 3x + 18)/2(x^2 + x - 12) < 0.

Вынесем минус в знаменателе и умножим неравенство на (-1), перевернув знак неравенства:

-(x^2 - 3x - 18)/2(x^2 + x - 12) < 0;

(x^2 - 3x - 18)/2(x^2 + x - 12) > 0.

Разложим на множители числитель и знаменатель:

x^2 - 3x - 18 = (х - х₁)(х - х₂).

D = 9 + 72 = 81 (√D = 9);

х₁ = (3 - 9)/2 = (-6)/2 = -3;

х₂ = (3 + 9)/2 = 12/2 = 6.

Значит, x^2 - 3x - 18 = (х + 3)(х - 6).

x^2 + x - 12 = (х - х₁)(х - х₂).

D = 1 + 48 = 49 (√D = 7);

х₁ = (-1 - 7)/2 = (-8)/2 = -4;

х₂ = (-1 + 7)/2 = 6/2 = 3.

Значит, x^2 + x - 12 = (х + 4)(х - 3).

Неравенство приобретает вид (х + 3)(х - 6)/2(х + 4)(х - 3) > 0.

Решаем неравенство методом интервалов. Находим корни неравенства: -3, 6, -4 и 3.

Переносим эти числа на прямую, отмечаем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) -4 (-) -3 (+) 3 (-) 6 (+).

Так как неравенство имеет знак > 0, то выбираем участки со знаком (+):

х принадлежит промежуткам (-∞; -4), (-3; 3) и (6; +∞).