Sin(90+L)-cos(180-L)+tg(270+L)+ctg(360-L)

Для решения sin воспользуемся формулой сложения:

sin (α + β) = sin α * cos β + sin β * cos α.

sin (90° + L) = sin 90° * cos L + sin L * cos 90°, при этом sin 90° = 1, cos 90° = 0.

Следовательно: sin (90° + L) = sin 90° * cos L + sin L * cos 90° = 1 * cos L + sin L * 0 = cos L. 

Воспользуемся формулой вычитания для cos:

cos (α - β) = cos α * cos β + sin α * sin β

cos (180° - L) = cos 180° * cos L + sin 180° * sin L, при этом cos 180° = -1, sin 180° = 0.

Следовательно: cos (180° - L) = cos 180° * cos L + sin 180° * sin L = -1 * cos L + 0 * sin L = -cos L.

Учитывая, что значения для tg 270° не существует, переведем tg L в ctg L: tg L = 1 / ctg L и получим: tg (270° + L) = 1 / ctg (270° + L).

Воспользуемся формулой сложения для ctg:

ctg (α + β) = (ctg α * ctg β - 1) / (ctg β + ctg α).

1 / ctg (270° + L) = 1 / ((ctg 270° * ctg L - 1) / (ctg L + ctg 270°)) = (ctg L + ctg 270°) / (ctg 270° * ctg L - 1), при этом ctg 270° = 0.

Следовательно: 1 / ctg (270° + L) = (ctg L + 0) / (0 * ctg L - 1) = - ctg L.

Так как для ctg 360° тоже не существует значения, поэтому преобразуем его через tg: ctg = 1 / tg и получим: ctg (360° - L) = 1 / tg (360° - L).

Воспользуемся формулой разности для tg:

tg (α - β) = (tg α - tg β) / (tg α * tg β + 1).

1 / tg (360° - L) = 1 / ((tg 360° - tg L) / (tg 360° * tg L + 1)) = (tg 360° * tg L + 1) / (tg 360° - tg L), при этом tg 360° = 0.

Следовательно: 1 / tg (360° - L) = (0 * tg L + 1) / (0 - tg L) = 1 / (-tg L) = -ctg L.

В итоге получили такие значения:

sin (90° + L) = cos L, cos (180° - L) = -cos L, tg (270° + L) = - ctg L, ctg (360° - L) = -ctg L.

Подставим полученные значения в исходную формулу и упростим:

sin (90° + L) - cos (180° - L) + tg (270° + L) + ctg (360° - L) = cos L - (-cos L) + (-ctg L) + (-ctg L) = cos L + cos L - ctg L - ctg L = 2 * cos L - 2 * ctg L = 2 * (cos L - ctg L).

Ответ: sin (90° + L) - cos (180° - L) + tg (270° + L) + ctg (360° - L) = 2 * (cos L - ctg L).