Найдите наименьшее значение функции y=x^3-12x^2+36x+3 на отрезке [4;12]

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = x^3 - 12x^2 + 36x + 3, на отрезке [4; 12].

Найдем точки экстремума функции

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(х^a)’ = ax^(a - 1).

Тогда:

y’ = (x^3 - 12x^2 + 36x + 3)’ = 3х^2 – 12 * 2х + 36 = 3х^2 – 24х + 36.

Точки экстремума:

у’ существует при всех значениях х.

y’ = 0:

3х^2 – 24х + 36 = 0,

3 (х^2 – 8х + 12) = 0,

3 (х – 6) (х – 2) = 0,

х₁ = 2,

х₂ = 6.

Наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Т.к. х = 2 не принадлежит отрезку [4; 12], то эту точку не рассматриваем.

Вычислим значение функции в точке экстремума и на концах отрезка:

При х = 4, y = 4^3 – 12 * 4^2 + 36 * 4 + 3 = 64 – 192 + 144 + 3 = 19.

При х = 6, y = 6^3 – 12 * 6^2 + 36 * 6 + 3 = 216 – 432 + 216 + 3 = 3.

При х = 12, y = 12^3 – 12 * 12^2 + 36 * 12 + 3 = 1728 – 1728 + 432 + 3 = 435.

Таким образом, y_наим = у(6) = 3.

Ответ: y_наим = 3.