Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2x^3-9x^2-3 на отрезке [-1;4]

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = 2x^3 - 9x^2 - 3, на отрезке [- 1; 4].

Найдем точки экстремума функции

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(х^a)’ = ax^(a - 1).

Тогда:

y’ = (2x^3 - 9x^2 - 3)’ = 2 * 3х^2 – 9 * 2х = 6х^2 – 18х.

Точки экстремума:

у’ существует при всех значениях х.

y’ = 0:

6х^2 – 18х = 0,

6х (х – 3) = 0,

х₁ = 0,

х₂ = 3.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Вычислим значение функции в точках экстремума и на концах отрека:

При х = -1, y = 2 * (-1)^3 – 9 * (-1)^2 – 3 = -2 – 9 – 3 = -14.

При х = 0, y = 2 * 0^3 – 9 * 0^2 – 3 = -3.

При х = 3, y = 2 * 3^3 – 9 * 3^2 – 3 = 54 – 81 – 3 = -30.

При х = 4, y = 2 * 4^3 – 9 * 4^2 – 3 = 128 – 144 – 3 = -19.

Таким образом, y_наим = у(3) = -30, y_наиб = у(0) = -3.

Ответ: y_наим = -30, y_наиб = -3.