Найдите производную функции: а) y=√x(5x-3) б) y=x/x^2+1

Воспользовавшись основными формулами и правилами дифференцирования:

(x^n)’ = n * x^(n-1).

(с)’ = 0, где с – const.

(с * u)’ = с * u’, где с – const.

(u ± v)’ = u’ ± v’.

(u / v)’ = (u’v - uv’) / v².

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x).

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

f(x)\' = ((x^2) / (x^2 + 1))’ = ((x^2)’ * (x^2 + 1) - (x^2) * (x^2 + 1)’) / (x^2 + 1)^2 = ((x^2)’) * (x^2 + 1) - (x^2) * ((x^2)’ + (1)’)) / (x^2 + 1)^2 = (2x * (x^2 + 1) - (x^2) * (2x + 0)) / (x^2 + 1)^2 = (2x^3 + 2x - 2x^3) / (x^2 + 1)^2 = 2x / (x^2 + 1)^2.

f(x)\' = ((x^2 + 1) / (x^(3 / 2) – 3))’ = ((x^2 + 1)’ * (x^(3 / 2) – 3) - (x^2 + 1) * (x^(3 / 2) – 3)’) / (x^(3 / 2) – 3)^2 = ((x^2)’ + (1)’) * (x^(3 / 2) – 3) - (x^2 + 1) * ((x^(3 / 2))’ – (1)’) / (x^(3 / 2) – 3)^2 = (2x + 0) * (x^(3 / 2) – 3) - (x^2 + 1) * ((3 / 2) * x^(1 / 2) – 0) / (x^(3 / 2) – 3)^2 = (2x^2 – 6x – (3x^(3 / 2) / 2 + ((3x^(1 / 2) / 2) / (x^(3 / 2) – 3)^2.