Найдите наименьшее значение функций:1)y=x^2-2x+7

у = х^2 - 2х + 7.

1 способ – через производную функции.

Найдем точки экстремума функции

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(х^a)’ = ax^(a - 1).

Тогда:

y’ = (х^2 - 2х + 7)’ = 2х - 2.

Точки экстремума:

у’ существует при всех значениях х.

y’ = 0:

2х - 2 = 0,

х = 1.

Т.к. при переходе через точку х = 1, производная функции меняет знак с «-» на «+», то точка х = 1 является точкой минимума функции и в этой точке достигается наименьшее значение функции.

у_наим = у (1) = 1^2 – 2 * 1 + 7 = 1 – 2 + 7 = 6.

Ответ: у_наим = 6.

2 способ – аналитический.

у = х^2 - 2х + 7 – квадратичная функция, графиком является парабола. Т.к. коэффициент перед х^2 больше нуля (1 > 0), то ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение функция достигает в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы можно найти по формуле:

х₀ = -b / 2a = 2 / 2 = 1.

Ордината: y₀ = у (1) = 1^2 – 2 * 1 + 7 = 1 – 2 + 7 = 6.

Наименьшее значение функции у_наим = 6.