На какое число делится без остатка выражение n^3+3n^2+2n при любом натуральном n?

Преобразуем выражение n^3 + 3n^2 + 2n к следующему виду:

n^3 + 3n^2 + 2n = n * (n^2 + 3n + 2) = n * (n + 1) * (n + 2).

Согласно условию задачи, число n является натуральным, следовательно,  выражение n * (n + 1) * (n + 2) представляет собой произведение трех последовательных натуральный чисел.

В любой последовательности трех последовательных натуральный чисел одно из этих чисел будет обязательно делиться на 2 и одно из этих чисел будет обязательно делиться на 3.

Следовательно, данное выражение будет обязательно делиться на 2 * 3 = 6.

Ответ: при любом натуральном n данное выражение будет без остатка делиться на 6.