Найдите производную функции 1) y=cos(arctgx) 2) y=sin(arcctgx) 3) y=sin(arccosx) 4) y=cos(arcsinx)

Найдём производные функций:

1) y = cos (arctg x);

2) y = sin (arcctg x);

3) y = sin (arccos x);

4) y = cos (arcsin x).

Воспользуемся формулами:

(sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции).

(cos x)’ = -sin x (производная основной элементарной функции).

(arctg x)’ = 1 / (1 + х^2) (производная основной элементарной функции).

(arccos x)’ = -1 / √(1 - х^2) (производная основной элементарной функции).

(arcsin x)’ = 1 / √(1 - х^2) (производная основной элементарной функции).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом:

1) y’ = (cos (arctg x))’ = (arctg x)’ * (cos (arctg x))’ =

(1 / (1 + х^2)) * (-sin (arctg x)) = (-sin (arctg x)) / (1 + х^2);

2) y’ = (sin (arcctg x))’ = (arcctg x)’ * (sin (arcctg x))’ =

(1 / (1 + х^2)) * (cos (arcctg x)) = (cos (arcctg x)) / (1 + х^2);

3) y’ = (sin (arccos x))’ = (arccos x)’ * (sin (arccos x))’ =

(-1 / √(1 - х^2)) * (cos (arccos x)) = (-cos (arccos x)) / √(1 - х^2);

4) y’ = (cos (arcsin x))’ = (arcsin x)’ * (cos (arcsin x))’ =

(1 / √(1 - х^2)) * (-sin (arcsin x)) = (-sin (arcsin x)) / √(1 - х^2).