Решите неравенства под корнем х+1 < х-1 под корнем х+1 < х+1 под корнем х+1 > x-1 под корнем 2x+1 >x-1 под

1) √(х + 1) < х - 1.

Возведем неравенство в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(√(х + 1))^2 < (х - 1)^2.

х + 1 < х^2 - 2х + 1;

х^2 - 2х + 1 > х + 1;

х^2 - 2х + 1 - х - 1 > 0;

х^2 - 3х > 0;

х(х - 3) > 0.

Решим неравенство методом интервалов.

Ноходим корни неравенства:

х = 0.

х - 3 = 0; х = 3.

Отмечаем на числовой прямой точки 0 и 3, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) 0 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства > 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (+).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; 0) и (3; +∞).

Далее работаем по образцу.

2) √(х + 1) < х + 1.

х + 1 < х^2 + 2х + 1;

х^2 + 2х + 1 > х + 1;

х^2 + 2х + 1 - х - 1 > 0;

х^2 + х > 0;

х(х + 1) > 0.

х = 0; х = -1.

(+) -1 (-) 0 (+).

Так как знак неравенства > 0, то решением неравенства будут промежутки (-∞; -1) и (0; +∞).

3) √(х + 1) > x - 1.

х + 1 > х^2 - 2х + 1;

х^2 - 2х + 1 < х + 1;

х^2 - 2х + 1 - х - 1 < 0;

х^2 - 3х < 0;

х(х - 3) < 0.

х = 0; х = 3.

(+) 0 (-) 3 (+).

Так как знак неравенства < 0, то решением неравенства будет промежуток (0; 3).

4) √(2x + 1) > x - 1.

2х + 1 > x^2 - 2х + 1;

x^2 - 2х + 1 < 2х + 1;

x^2 - 2х + 1 - 2х - 1 < 0;

x^2 - 4х < 0;

х(х - 4) < 0.

х = 0; х = 4.

(+) 0 (-) 4 (+).

Так как знак неравенства < 0, то решением неравенства будет промежуток (0; 4).

5) √(3 - x) > x - 1.

3 - х > x^2 - 2х + 1;

x^2 - 2х + 1 < 3 - х;

x^2 - 2х + 1 - 3 + х < 0;

x^2 - х - 2 < 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - х - 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - х - 2 = 0.

D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

х₁ = (1 - 3)/2 = -2/2 = -1.

х₂ = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (-1; 2).