Решить уравнение 4tgx + 3|tgx| = sin2x |tgx| - модуль тангенса x.

   Рассмотрим три случая для раскрытия модуля в уравнении:

      4tgx + 3|tgx| = sin2x.

   a) При tgx = 0 получим верное равенство:

      0 = 0.

      Решение: x = πk, k ∈ Z.

   b) tgx < 0; (1)

      x ∈ (-π/2 + πk, 0 + πk), k ∈ Z;

• 4tgx - 3tgx = sin2x;
• tgx = 2sinx * cosx;
• sinx = 2sinx * cos^2(x);
• 2cos^2(x) = 1;
• cos^2(x) = 1/2;
• cosx = ±√2/2;

      x = -π/4 + πk, k ∈ Z, с учетом условия (1).

   c) tgx > 0; (1)

      x ∈ (0 + πk, π/2 + πk), k ∈ Z;

• 4tgx + 3tgx = sin2x;
• 7tgx = 2sinx * cosx;
• 7sinx = 2sinx * cos^2(x);
• 2cos^2(x) = 7;
• cos^2(x) = 7/2;
• cosx = ±√(7/2), нет решений.

   Ответ: πk; -π/4 + πk, k ∈ Z.