Найдите сумму всех двузначных чисел, дающих при делении на 5 в остатке 4.

Любое двузначное число, которое при делении на 5 дает в остатке 4 можно записать в виде 5n + 9, где n — некоторое целое положительное число.

Рассмотрим последовательность аn = 5n + 9.

Первый член данной последовательности равен 5 * 1 + 9 = 14.

Найдем наибольший член данной последовательности, являющийся двузначным числом.

Для этого решим в целых числах неравенство:

5n + 9 < 100;

5n < 100 - 9;

5n < 91;

n < 91 /5;

n < 18 1/5.

Следовательно, наибольший член данной последовательности, являющийся двузначным числом получаем при n= 18 и этот член равен 5 * 18 + 9 = 99.

Покажем, что данная последовательность an является арифметической прогрессией:

an+1 - an = 5 * (n + 1) + 9 - (5n + 9) = 5n + 5 + 9 - 5n - 9 = 5.

Следовательно, данная последовательность an является арифметической прогрессией с разностью d, равной 5.

Находим сумму первых 18-ти членов данной прогрессии:

S18 = (2 * a1 + d * (18 - 1)) * 18 / 2 = (2 * a1 + d * 17) * 9 = (2 * 14 + 5 * 17) * 9 = (28 + 85) * 9 = 113 * 9 = 1017.

Ответ: сумма всех двузначных чисел, дающих при делении на 5 в остатке 4 равна 1017.