Найти производную функции f(x)=(ax^2+bx+c)^n

Найдём производную данной функции: y = (ax^2 + bx + c)^n.

Воспользовавшись формулами:

(x^n)’ = n * x^(n-1) (производная основной элементарной функции).

(с)’ = 0, где с – const (производная основной элементарной функции).

(с * u)’ = с * u’, где с – const (основное правило дифференцирования).

(u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x) (основное правило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y\' = ((ax^2 + bx + c)^n)’ = (ax^2 + bx + c)’ * ((ax^2 + bx + c)^n)’ =

((ax^2)’ + (bx)’ + (c)’) * ((ax^2 + bx + c)^n)’ =

((a * 2 * x^(2 – 1)) + (b * x^(1 – 1)) + 0) * (n * (ax^2 + bx + c)^(n – 1)) =

(2ax + b) * (n * (ax^2 + bx + c)^(n – 1)).

Ответ: y\' = (2ax + b) * (n * (ax^2 + bx + c)^(n – 1)).