Каждое из восьми натуральных чисел меньше 16, причём все числа различные. Докажите, что среди их попарных разностей есть

   1. Дано:

• a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 ∈ N;
• 1 ≤ a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 < a7 < a8 ≤ 15. (1)

   2. Из 8 чисел можно составить:

      N = C(8, 2) = 8!/(2! * 6!) = 28 пар.

   3. Модуль разности чисел в каждой паре может принимать значения от 1 до 14 (при a1 = 1 и a8 = 15). Следовательно, если среди них нет трех одинаковых, то получим по две пары для каждого значения:

      28 : 14 = 2.

   4. Тогда для суммы всех разностей получим:

• S = 2 * (1 + 2 + ... + 13 + 14);
• S = 2 * 14 * (1 + 14)/2;
• S = 14 * 15 = 210. (2)

   5. С другой стороны, исходя из неравенств (1), для этой же суммы получим:

• S = 7(a8 - a1) + 5(a7 - a2) + 3(a6 - a3) + (a5 - a4);
• S ≤ 7 * 14 + 5 * 12 + 3 * 10 + 8;
• S ≤ 98 + 60 + 30 + 8;
• S ≤ 196. (3)

   6. Равенства (2) и (3) противоречат друг другу, значит, есть три одинаковые пары.

   Что и требовалось доказать.