Разложите многочлен на множители: (x**+1)**-4x** (y**+2y)**-1 81-(c**+6c)** 16m**-(m-n)**

Решение:

Раскладываем выражения на множители, используя формулу а² – b² = (a – b)(а + b):

1). (x² + 1)² – 4x² = (x² + 1 – 2x)(x² + 1 + 2x).

Сворачиваем по формулам квадрат суммы и квадрат разности:

(x² – 2x + 1)(x² + 2x + 1) = (x – 1)²(x + 1)².

Таким же образом решаем следующие примеры:

2). (y² + 2y)² – 1 = (y² + 2y – 1)(y² + 2y + 1) = (y² + 2y – 1)(y + 1)².

Находим корни квадратного уравнения y² + 2y – 1 = 0:

D = b² – 4ac = 2² – 4 · (– 1) = 4 + 4 = 8;

x₁ = ^{(– b – √ D)} / _(2a) = ^{(– 2 – √ 8)} / ₂ = ^{(– 2 – 2√ 2)} / ₂ = – 1 – √ 2;

x₂ = ^{(– b + √ D)} / _(2a) = ^{(– 2 + √ 8)} / ₂ = ^{(– 2 + 2√ 2)} / ₂ = – 1 + √ 2.

В результате получаем:

(y² + 2y – 1)(y + 1)² = (y + 1 + √ 2)(y + 1 – √ 2) (y + 1)².

3). 81 – (c² + 6c)² = (9 – c² – 6c)(9 + c² + 6c) = (– c² – 6c + 9)(c² + 6c + 9) = (– c² – 6c + 9)(c + 3) ².

Решаем квадратное уравнение – c² – 6c + 9 = 0:

D = (– 6)² – 4 · (– 1) · 9 = 36 + 36 = 72;

x₁ = ^{(6 – √ 72)} / _–2 = ^{(6 – 6√ 2)} / _–2 = – 3 + 3√ 2;

x₂ = ^{(6 + √ 72)} / _–2 = ^{(6 + 6√ 2)} / _–2 = – 3 – 3√ 2.

Получаем следующее разложение:

(c² + 6c – 9)(c + 3) ² = (c + 3 – 3√ 2)(c + 3 + 3√ 2)(c + 3) ².

4). 16m² – (m – n)² = (4m)² – (m – n)² = (4m – m + n)(4m + m – n) = (3m + n)(5m – n).

Ответ: 1). (x² + 1)² – 4x² = (x – 1)²(x + 1)²; 2); (y² + 2y)² – 1 = (y + 1 + √ 2)(y + 1 – √ 2) (y + 1)²; 3); 81 – (c² + 6c)² = – (c + 3 + 3√ 2)(c + 3 – 3√ 2)(c + 3) ²; 4). 16m² – (m – n)² = (3m + n)(5m – n).