Решите данные неравенства : 1) x(7-x)>0 2) x^2(3-x)(x+1)

1) Решим неравенство методом интервалов.

x(7 - x) > 0.

В скобках х имеет отрицательный коэффициент, вынесем минус за скобку и умножим неравенство на (-1), знак неравенства перевернется.

-x(х - 7) > 0.

x(х - 7) < 0.

Находим корни неравенства:

х = 0.

х - 7 = 0; х = 7.

Отмечаем на числовой прямой точки 0 и 7, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) 0 (-) 7 (+).

Так как знак неравенства < 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будет промежуток (0; 7).

2) x²(3 - x)(x + 1) ≤ 0.

Значение x² всегда положительно, поэтому им можно пренебречь.

Произведение двух скобок тогда меньше нуля, когда скобки имеют разные знаки. Получается две системы:

3 - х ≤ 0; х + 1 ≥ 0 (а) и 3 - х ≥ 0; х + 1 ≤ 0 (б).

а) 3 - х ≤ 0; -х ≤ -3; х ≥ 3.

х + 1 ≥ 0; х ≥ -1.

Решение системы: [3; +∞).

б) 3 - х ≥ 0; -х ≥ -3; х ≤ 3.

х + 1 ≤ 0; х ≤ -1.

Решение системы: (-∞; -1].

Ответ: х принадлежит промежуткам (-∞; -1] и [3; +∞).

3) 3x² - 7x + 2 < 0.

Рассмотрим функцию у = 3x² - 7x + 2, это квадратичная парабола, ветви вверх.

Найдем нули функции: у = 0; 3x² - 7x + 2 = 0.

D = 49 - 24 = 25 (√D = 5);

х₁ = (7 - 5)/6 = 2/6 = 1/3.

х₂ = (7 + 5)/6 = 12/6 = 2.

Отмечаем на числовой прямой точки 1/3 и 2, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак < 0, значит решением неравенства будет промежуток, где парабола находится ниже прямой, то есть (1/3; 2).