1+2+2^2+2^3+...+2^77 делится ли это число на 7 без остатка?

Разложим выражение на множители, одним из которых будет число 7:

1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + ... + 2^75 + 2^76 + 2^77 == 1 * (1 + 2 + 2^2) + 2^3 * (1 + 2 + 2^2) + ...+ 2^75 * (1 + 2 + + 2^2) = (1 + 2^3 + ... + 2^75) * 7.

Произведение двух чисел, одно из которых число 7, очевидно, делится на 7.

Итак, число 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^77 делится на 7.