1+2/(tg(x)+ctg(x)), если cos(x)+sin(x)=1/3

   1. Для удобства преобразований обозначим заданное выражение Z:

      Z = 1 + 2 / (tgx + ctgx).

   2. Выразим tgx и ctgx через sinx и cosx:

      Z = 1 + 2 / (sinx / cosx + cosx / sinx).

   3. Приведем дроби к общему знаменателю:

      Z = 1 + 2 / ((sin^2(x) + cos^2(x)) / (sinx * cosx)).

   4. Сумма квадратов sinx и cosx равна единице:

      Z = 1 + 2 / (1 / (sinx * cosx));

      Z = 1 + 2sinx * cosx;

      Z = sin^2(x) + cos^2(x) + 2sinx * cosx;

      Z = (sinx + cosx)^2.

   5. Подставим значение суммы sinx и cosx в полученное выражение:

      sinx + cosx = 1/3;

      Z = (sinx + cosx)^2 = (1/3)^2 = 1/9.

   Ответ: 1/9.