К числу 37 припиши справа и слева одну и ту же цифру, такую, чтобы полученное четырёхзначное число разделилось на 6.

1. Цифру 6 можно представить как произведение простых множителей 2 и 3. То есть, 6 = 2 * 3. 

2. Поэтому, что бы искомое число можно было бы разделить на 6, необходимо:

• чтобы оно делилось на 2, то есть было четным;
• чтобы оно делилось на 3, то есть сумма его цифр делилась на 3.

3. Из первого требования (четность) следует, что цифра, которую нужно приписать, должна быть четной. То есть: 2, 4, 6, 8. Цифра 0 тоже удовлетворяет первому требованию.

4. Проверим эти цифры на соответствие второму требованию. Сумма цифр числа 37 равна 10. То есть требованию удовлетворяет только цифра 4. Если ее приписать справа и слева, сумма цифр числа будет 18, и оно будет делится на 3.

Ответ: к 37 нужно приписать цифру 4. Получим число 4374, которое при делении на 6 дает 729.