Докажите, что | sin a + cos a | ≤ √(2)

   1. Для удобства преобразований обозначим левую часть тождества Z и докажем, что неравенство верно при любом значении переменной:

      Z = |sina + cosa|;

      Z = |√2(√2/2 * sina + √2/2 * cosa)|.

   2. Заменим коэффициенты √2/2 косинусом и синусом угла π/4 и применим к выражению формулу для синуса суммы двух углов:

      Z = |√2(cos(π/4) * sina + sin(π/4) * cosa)|;

      Z = |√2sin(a + π/4)|.

   3. Область значений синуса - промежуток [-1; 1], следовательно:

      -1 ≤ sin(a + π/4) ≤ 1;

      -√2 ≤ √2sin(a + π/4) ≤ √2;

      |√2sin(a + π/4)| ≤ √2;

      Z ≤ √2.

   Тождество доказано.